การเคลื่อนที่แบบ Brownian เชิงเรขาคณิต (Geometric Brownian Motion: GBM)

Geometric Brownian Motion (GBM) เป็นแบบจำลองพื้นฐานที่ใช้กันอย่างแพร่หลายในการอธิบายพฤติกรรมของราคาสินทรัพย์ในช่วงเวลา โดยโมเดลนี้รับประกันว่าราคาจะไม่ติดลบ ซึ่งสอดคล้องกับโลกแห่งความเป็นจริง

รูปแบบของสมการ GBM

ราคาสินทรัพย์ S(t)  ถูกกำหนดโดยสมการเชิงอนุพันธ์สุ่ม (SDE):

dS(t)=μS(t)dt+σS(t)dB(t)

โดยที่:

• μ: อัตราการเติบโตเฉลี่ย (drift) — ค่าคงที่
• σ: ความผันผวน (volatility) — ค่าคงที่
• B(t): Brownian Motion มาตรฐาน
• S(t): ราคาสินทรัพย์ ณ เวลา t

ในโมเดลที่ซับซ้อนขึ้น μ และ σ อาจเป็นฟังก์ชันของ t, S(t) หรือแม้กระทั่งกระบวนการสุ่มอื่นๆ ได้

การแก้สมการ GBM ด้วย Ito’s Lemma

เริ่มจากสมการ:

S(t)dS(t)​=μdt+σdB(t)

ต้องการหา S(t) ให้พิจารณา ln⁡S(t) และใช้ Ito's Lemma กับฟังก์ชัน ln⁡S(t):

d(lnS(t))=(μ−21​σ2)dt+σdB(t)

ซึ่งเป็นกระบวนการแบบ Ito drift-diffusion จากนั้นอินทิเกรตทั้งสองข้าง:

lnS(t)=lnS(0)+(μ−21​σ2)t+σB(t)

ยกกำลังทั้งสองข้าง จะได้:

S(t)=S(0)⋅exp[(μ−21​σ2)t+σB(t)]

สรุป

• โมเดล GBM ใช้ได้ดีสำหรับอธิบายราคาหุ้นในตลาดที่ไม่มีการจ่ายเงินปันผล
• รับประกันว่า S(t)>0 เสมอ
• เป็นหนึ่งในไม่กี่กรณีที่สามารถหาคำตอบของ SDE ได้แบบวิเคราะห์ (analytical solution)

อ้างอิง : Geometric Brownian Motion

จาก https://www.quantstart.com/articles/Geometric-Brownian-Motion/